Question

20．已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若A，B分別在直線x=-2和x=2上，且AF₁⊥BF₁．
（ⅰ） 當(dāng)△ABF₁為等腰三角形時(shí)，求△ABF₁的面積；
（ⅱ） 求點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線AB距離之和的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知a²-3=1，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得mn=3，由|AF₁|=|BF₁|，求得m²-n²=8，即可求得m和n的值，求得三角形的面積；
（ⅱ）直線$AB：y=\frac{n-m}{4}（x+2）+m$，利用點(diǎn)到直線的距離公式，由點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在直線AB的同一側(cè)，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線AB距離之和的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，c=1，則a²-b²=c²，即a²-3=1，
則a²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）（�。┯深}意可設(shè)A（-2，m），B（2，n），
由AF₁⊥BF₁，則$\overrightarrow{A{F_1}}•\overrightarrow{B{F_1}}=0$，即（1，-m）（-3，-n）=0，則mn=3，①
由AF₁⊥BF₁，則當(dāng)△ABF₁為等腰三角形時(shí)，只能是|AF₁|=|BF₁|，即$\sqrt{{m^2}+1}=\sqrt{9+{n^2}}$，
化簡(jiǎn)得m²-n²=8，②
由①②可得$\left\{{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-1}\end{array}}\right.$，
∴${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}|A{F_1}||B{F_1}|=\frac{1}{2}{\sqrt{10}^2}=5$．
（ⅱ）直線$AB：y=\frac{n-m}{4}（x+2）+m$，
化簡(jiǎn)得（n-m）x-4y+2（m+n）=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線AB距離之和為
${d_1}+{d_2}=\frac{|2（m+n）-（n-m）|}{{\sqrt{{{（n-m）}^2}+16}}}+\frac{|2（m+n）+（n-m）|}{{\sqrt{{{（n-m）}^2}+16}}}$
∵點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在直線AB的同一側(cè)，
∴${d_1}+{d_2}=\frac{4|m+n|}{{\sqrt{{{（n-m）}^2}+16}}}=4\sqrt{\frac{{{m^2}+{n^2}+2mn}}{{{m^2}+{n^2}-2mn+16}}}$
由mn=3，
則m²+n²≥2mn=6，${d_1}+{d_2}=4\sqrt{\frac{{{m^2}+{n^2}+6}}{{{m^2}+{n^2}+10}}}=4\sqrt{1-\frac{4}{{{m^2}+{n^2}+10}}}$
∴${d_1}+{d_2}=4\sqrt{1-\frac{4}{{{m^2}+{n^2}+10}}}≥2\sqrt{3}$
當(dāng)$m=n=\sqrt{3}$或$m=n=-\sqrt{3}$時(shí)，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線AB距離之和取得最小值$2\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線AB距離之和取得最小值$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．