已知,
,且直線
與曲線
相切.
(1)若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)(ⅰ)當(dāng)時(shí),求最大的正整數(shù)
,使得任意
個(gè)實(shí)數(shù)
(
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有
成立;
(ⅱ)求證:.
(1);(2)(ⅰ)13;(ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:(1)由直線與曲線
相切可以求出
中的參數(shù)
.再由對(duì)
內(nèi)的一切實(shí)數(shù)
,不等式
恒成立,即
在
上恒成立,然后構(gòu)造函數(shù)
,研究其導(dǎo)函數(shù)以確定其單調(diào)性,從而得到其最小值1.又
,所以實(shí)數(shù)
的取值范圍是
;(2)(。┫韧ㄟ^導(dǎo)函數(shù)確定
在
上是增函數(shù),從而得到
在
上的最大值.由題意,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值.經(jīng)計(jì)算知
時(shí)不等式右邊取得最小值,然后代入不等式,解得
.因此,
的最大值為
;(ⅱ)根據(jù)(1)的推導(dǎo)
時(shí),
,從而
,再通過令
代入化簡即可得證.
試題解析:(1)設(shè)點(diǎn)為直線
與曲線
的切點(diǎn),則有
. (*)
,
. (**)
由(*)、(**)兩式,解得,
. 1分
由整理,得
,
,
要使不等式
恒成立,必須
恒成立. 2分
設(shè),
,
,
當(dāng)
時(shí),
,則
是增函數(shù),
,
是增函數(shù),
,
.
因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是
. 4分
(2)(。┊(dāng)時(shí),
,
,
在
上是增函數(shù),
在
上的最大值為
.
要對(duì)內(nèi)的任意
個(gè)實(shí)數(shù)
都有
成立,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值,當(dāng)
時(shí)不等式左邊取得最大值,
時(shí)不等式右邊取得最小值.
,解得
.因此,
的最大值為
. 8分
(ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),根據(jù)(1)的推導(dǎo)有,
時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)=
。
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值;
(3)在(1)的條件下,設(shè)=
+
,
求證: (
),參考數(shù)據(jù):
。(13分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進(jìn)行開發(fā)建設(shè),陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā),且要求用欄柵隔開(欄柵要求在直線上),公共設(shè)施邊界為曲線的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M、N,切曲線于點(diǎn)P,設(shè)
.
(I)將(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S表示成f的函數(shù)S(t);
(II)若,S(t)取得最小值,求此時(shí)a的值及S(t)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)(
),其中
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極大值和極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(1)若,求證:當(dāng)
時(shí),
;
(2)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,試求
的取值范圍;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(其中
是實(shí)數(shù)).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,且
有兩個(gè)極值點(diǎn)
,求
的取值范圍.
(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極大值和極小值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
.
(1)設(shè),求函數(shù)
的最值;
(2)若對(duì)于任意的,都有
成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù):
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對(duì)于任意的,若函數(shù)
在 區(qū)間
上有最值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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