Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，證明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）對(duì)一切成立.

Answer 1

【答案】（1）兩個(gè)零點(diǎn)；（2）（I）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

(1)對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2) （Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由(1)得出的范圍，進(jìn)而得到，利用誘導(dǎo)公式即可得出;

（Ⅱ）由（Ⅰ）得出 >>，結(jié)合的單調(diào)性確定，且，對(duì)n為偶數(shù)和奇數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可得出對(duì)一切成立.

（1）

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，，在上無(wú)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

在上有唯一零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減

，上有唯一零點(diǎn)

綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)。

（2）

（I）由（1）知在無(wú)極值點(diǎn)；在有極小值點(diǎn)，即為；

在有極大值點(diǎn)，即為，同理可得，在有極小值點(diǎn)，

在有極值點(diǎn).由得

，，由函數(shù)在單調(diào)遞增，

得，，

由在單調(diào)遞減得

；

（Ⅱ）同理， >>

由在上單調(diào)遞減得

，且

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，從開(kāi)始相鄰兩項(xiàng)配對(duì)，每組和均為負(fù)值，

即，結(jié)論成立；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，從開(kāi)始相鄰兩項(xiàng)配對(duì)，每組和均為負(fù)值，還多出最后一項(xiàng)也是負(fù)值，即，結(jié)論也成立。

綜上，對(duì)一切，成立.