Question

2．已知數(shù)列{a_n}是首項為a₁，公差為d的等差數(shù)列，記其前n項和為S_n，試用a₁，d，n表示S_n，并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

分析 用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設當n=k+1時，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可

解答 解：${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d，n∈{N^*}$．
下面用數(shù)學歸納法證明.1°．n=1時，左邊=S₁=a₁，右邊=a₁+$\frac{1×0}{2}$d=a₁，等式成立．
2°．假設n=k時，等式成立，即S_k=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}$d，
當n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}$d+a₁+kd
=$（k+1）{a_1}+\frac{k（k-1）+2k}{2}d$，=$（k+1）{a_1}+\frac{（k+1）[（k+1）-1]}{2}d$，
即n=k+1時，等式成立．
綜合1°，2°知，對于任意的正整數(shù)n，都有S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d成立．

點評 本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學歸納法，第（1）問要注意遞推公式的靈活運用，第（2）問要注意數(shù)學歸納法的證明技巧．數(shù)學歸納法的基本形式設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立