Question

【題目】如圖所示，四棱柱中，側棱底面，，，，，為的中點.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據線面垂直有，計算得，即，所以平面，所以；（2）過作于點，連接.由（1）知，，故平面，得.∴為二面角的平面角.在中計算得；（3）連接，過點作于點，可得平面，連接，則為直線與平面所成的角.設，在中利用余弦定理建立關于的方程，求得.

試題解析：

（1）∵側棱底面，平面，∴.

經計算可得，，，

∴，∴在中，.

又∵，平面，，∴平面.又平面，

∴.

（2）如圖所示，過作于點，連接.

由（1）知，，故平面，得.

∴為二面角的平面角.

在中，由，，可得.

在中，，∴，

即二面角的正弦值為.

（3）如圖所示，連接，過點作于點，可得平面，

連接，則為直線與平面所成的角.

設，從而在中，有，.

在中，，，得.

在中，，，

由，

得，

整理得，解得（負值舍去）.

∴線段的長為.