Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足：對任意的n∈N^*均有a_n+1=ka_n+3k-3，其中k為不等于0與1的常數(shù)，若a_i∈{-678，-78，-3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，則滿足條件的a₁所有可能值的和為$\frac{6023}{3}$．

Answer 1

分析 依題意，可得a_n+1+3=k（a_n+3），再對a₁=-3與a₁≠-3討論，特別是a₁≠-3時對公比k分|k|＞1與|k|＜1，即可求得a₁所有可能值，從而可得答案．

解答 解：∵a_n+1=ka_n+3k-3，
∴a_n+1+3=k（a_n+3），
∴①若a₁=-3，則a₁₊₁+3=k（a₁+3）=0，a₂=-3，同理可得，a₃=a₄=a₅=-3，即a₁=-3復(fù)合題意；
②若a₁≠-3，k為不等于0與1的常數(shù)，則數(shù)列{a_n+3}是以k為公比的等比數(shù)列，
∵a_i∈{-678，-78，-3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，
a_n+3可以取-675，-75，25，225，
∵-75=25×（-3），225=-75×（-3），-675=225×（-3），
∴若公比|k|＞1，則k=-3，由a₂+3=22+3=-3（a₁+3）得：a₁=-$\frac{25}{3}$-3=-$\frac{34}{3}$；
若公比|k|＜1，則k=-$\frac{1}{3}$，由a₂+3=-675=-$\frac{1}{3}$（a₁+3）得：a₁=2025-3=2022；
綜上所述，滿足條件的a₁所有可能值為-3，-$\frac{34}{3}$，2022．
∴a₁所有可能值的和為：-3-$\frac{34}{3}$+2022=$\frac{6023}{3}$．．
故答案為：$\frac{6023}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運用，對a_n+1+3=k（a_n+3）的理解與應(yīng)用是難點，對公比k分|k|＞1與|k|＜1討論是關(guān)鍵，考查邏輯思維與推理運算能力，屬于難題．