Question

2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 幾何體是一個三棱錐，三棱錐的底面是一條直角邊為1，斜邊為b的直角三角形，另一條直角邊是$\sqrt{^{2}-1}$，三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，由勾股定理可知這條邊是$\sqrt{{a}^{2}-1}$，表示出體積，根據(jù)不等式基本定理，得到最值．

解答 解：由三視圖知，幾何體是一個三棱錐，
三棱錐的底面是一條直角邊為1，斜邊為b的直角三角形，
∴另一條直角邊是$\sqrt{^{2}-1}$，
三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，由勾股定理可知這條邊是$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴幾何體的體積是V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$\sqrt{^{2}-1}$×$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵在側(cè)面三角形上有a²-1+b²-1=6，
∴V$≤\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{^{2}-1+{a}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)側(cè)面的三角形是一個等腰直角三角形，
故選：A．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的體積，考查基本不等式的應(yīng)用，本題是一個比較綜合的題目，注意創(chuàng)造基本不等式的使用條件，得到結(jié)果．