Question

2．在平面內(nèi)，$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{A{B_2}}，|\overrightarrow{O{B_1}}|=3，|\overrightarrow{O{B_2}}|=4，\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A{B_1}}+\overrightarrow{A{B_2}}$，若$1＜|\overrightarrow{OP}|＜2$，則$|\overrightarrow{OA}|$的取值范圍是（　�。�

• A． $（2\sqrt{3}，\sqrt{17}）$
• B． $（\sqrt{17}，\sqrt{21}）$
• C． $（\sqrt{17}，2\sqrt{6}）$
• D． $（\sqrt{21}，2\sqrt{6}）$

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)B₁（a，0），B₂（0，b），則P（a，b），O（x，y），利用已知條件向量的模，以及$1＜|\overrightarrow{OP}|＜2$，轉(zhuǎn)化求解$|\overrightarrow{OA}|$的取值范圍即可．

解答 解：由$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{A{B_2}}，|\overrightarrow{O{B_1}}|=3，|\overrightarrow{O{B_2}}|=4，\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A{B_1}}+\overrightarrow{A{B_2}}$，如圖：建立坐標(biāo)系，
設(shè)B₁（a，0），B₂（0，b），則P（a，b），O（x，y），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}=3}\\{\sqrt{{x}^{2}+（y-b）^{2}}=4}\end{array}\right.$，
可得（x-a）²+（y-b）²+x²+y²=9+16=25，
$|\overrightarrow{OP}|$=$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$=$\sqrt{25-（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，
又$|\overrightarrow{OA}|$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$|\overrightarrow{OP}|$=$\sqrt{25-|\overrightarrow{OA}{|}^{2}}$∈（1，2），
∴1$＜25-{\overrightarrow{OA}}^{2}＜4$，⇒21$＜{\overrightarrow{OA}}^{2}＜24$⇒$\sqrt{21}＜|\overrightarrow{OA}|＜2\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的模的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．