Question

13．（1）已知數列{a_n}的各項均為正數，${b_n}=n{（{1+\frac{1}{n}}）^n}•{a_n}（{n∈{N_+}}）$，計算$\frac{b_1}{a_1}$，$\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{a_1}{a_2}}}$，$\frac{{{b_1}{b_2}{b_3}}}{{{a_1}{a_2}{a_3}}}$，由此推測計算$\frac{{{b_1}{b_2}…{b_n}}}{{{a_1}{a_2}…{a_n}}}$的公式，并給出證明．
（2）求證：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…$\frac{1}{3n}$＞$\frac{5}{6}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．
（2）檢驗n=2時不等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答 （1）證明：∵$\frac{b_1}{a_1}=1×{（{1+\frac{1}{1}}）^1}=1+1=2$；
$\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{a_1}{a_2}}}=\frac{b_1}{a_1}•\frac{b_2}{a_2}=2×2×{（{1+\frac{1}{2}}）^2}={（{2+1}）^2}={3^2}$；
$\frac{{{b_1}{b_2}{b_3}}}{{{a_1}{a_2}{a_3}}}=\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{a_1}{a_2}}}•\frac{b_3}{a_3}={3^2}×3×{（{1+\frac{1}{3}}）^3}={（{3+1}）^3}={4^3}$．
由此推測：$\frac{{{b_1}{b_2}…{b_n}}}{{{a_1}{a_2}…{a_n}}}={（{n+1}）^n}$．（*）
下面用數學歸納法證明（*）式．
（ i）當n=1時，左邊=右邊=2，（*）式成立．
（ ii）假設當n=k（k∈N₊）時（*）式成立，即 $\frac{{{b_1}{b_2}…{b_k}}}{{{a_1}{a_2}…{a_k}}}={（{k+1}）^k}$．
那么當n=k+1時，${b_{k+1}}=（{k+1}）{（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}}{a_{k+1}}$，
由歸納假設可得
$\frac{{{b_1}{b_2}…{b_k}{b_{k+1}}}}{{{a_1}{a_2}…{a_k}{a_{k+1}}}}=\frac{{{b_1}{b_2}…{b_k}}}{{{a_1}{a_2}…{a_k}}}•\frac{{{b_{k+1}}}}{{{a_{k+1}}}}={（{k+1}）^k}（{k+1}）•{（{1+\frac{1}{k+1}}）^{k+1}}={（{k+2}）^{k+1}}$．
∴當n=k+1時，（*）式也成立．
根據（i），（ii），可知（*）式對一切正整數n∈N₊都成立．
（2）證明：①當n=2時，左邊=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$＞$\frac{5}{6}$不等式成立．
 ②假設當n=k（k≥2，k∈N^*）時不等式成立，即 $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{3k}＞\frac{5}{6}$．
則當n=k+1時，$\frac{1}{{（{k+1}）+1}}+\frac{1}{{（{k+1}）+2}}+…+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{{3（{k+1}）}}$，
=$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{3k}+（{\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}-\frac{1}{k+1}}）$，
$＞\frac{5}{6}+（{\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}-\frac{1}{k+1}}）$，
＞$\frac{5}{6}$+（3×$\frac{1}{3k+3}$-$\frac{1}{k+1}$）=$\frac{5}{6}$
由①②可得$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…$\frac{1}{3n}$＞$\frac{5}{6}$（n≥2，n∈N^*）成立．

點評 本題考查數列的遞推公式，用數學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．