Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f'（x）＞1-f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的導函數(shù)，則不等式e^xf（x）＞e^x+2（e其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集是（　�。�

• A． {x|x＞0}
• B． {x|x＜0}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|x＜-1或0＜x＜1}

Answer 1

分析 令F（x）=e^xf（x）-e^x-2，從而求導F′（x）=e^x（f（x）+f′（x）-1）＞0，從而由導數(shù)求解不等式．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f'（x）＞1-f（x），可得f（x）+f′（x）-1＞0，
令F（x）=e^xf（x）-e^x-2，
則F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
故F（x）是R上的單調增函數(shù)，
而F（0）=e⁰f（0）-e⁰-2=0，
故不等式e^xf（x）＜e^x+3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（-∞，0）；
故選：B．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及利用函數(shù)求解不等式，屬于中檔題．