Question

【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，對，恒有成立，設(shè)數(shù)列滿足．

（I）求證：對，恒有成立；

（II）求函數(shù)的表達(dá)式；

（III）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求的值．

【答案】（I）證明見解析；（II）；(III)2018．

【解析】試題分析：

(1)左右兩側(cè)做差，結(jié)合代數(shù)式的性質(zhì)可證得，即對，恒有：成立；

(2)由已知條件可設(shè)，給定特殊值，令，從而可得：，則，，從而有恒成立，據(jù)此可知，則.

(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)論整理計(jì)算可得：，據(jù)此分組求和有：.

試題解析：

（1）（僅當(dāng)時，取“=”）

所以恒有：成立；

（2）由已知條件可設(shè)，則中，令，

從而可得：，所以，即，

又因?yàn)?/span>恒成立，即恒成立，

當(dāng)時，，不合題意舍去，

當(dāng)時，即，所以，所以.

（3），

所以，

即.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù) 為定義在上的奇函數(shù).

（1）求函數(shù)的值域；

（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，據(jù)此函數(shù)的解析式為： ，

(2)結(jié)合題意可得時， 仍然是奇函數(shù)，由題意可知在上單調(diào)遞增，整理變形后構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得實(shí)數(shù)的最小值為.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，所以，

即， ，

（2）當(dāng)時， 仍然是奇函數(shù)，

則有： ，

求導(dǎo)： 恒成立， 在上單調(diào)遞增，

令，則等價于：

對任意恒成立，

不妨設(shè)，則有，即，

所以，

構(gòu)造函數(shù)，現(xiàn)只需在上單調(diào)遞減，

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時，即時，取“=”，

則有，所以實(shí)數(shù)的最小值為.