分析 (1)作DO⊥平面ABC,O為垂足,則O是等邊△ABC的重心,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,OA,利用勾股定理能求出點(diǎn)D到△ABC所在平面的距離.
(2)由DO⊥平面ABC,知∠DBO是DB與平面ABC所成角,由此能求出DB與平面ABC所成角的余弦值.
(3)由已知得AE⊥BC,DE△BC,從而∠AED是二面角D-BC-A的平面角,由此能求出二面角D-BC-A的余弦值.
解答 解:(1)作DO⊥平面ABC,O為垂足,
∵正△ABC的邊長為6cm,點(diǎn)D到△ABC各頂點(diǎn)的距離都是4cm,
∴O是等邊△ABC的重心,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,OA,
由題意得AO=$\frac{2}{3}AE$=$\frac{2}{3}\sqrt{36-9}$=2$\sqrt{3}$,
∴點(diǎn)D到△ABC所在平面的距離DO=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{16-12}$=2(cm).
(2)∵DO⊥平面ABC,∴∠DBO是DB與平面ABC所成角,
∵BO=AO=2$\sqrt{3}$,
∴cos∠DBO=$\frac{BO}{DB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴DB與平面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(3)∵AB=AC=BC=6,DB=DC=4,E是BC中點(diǎn),
∴AE⊥BC,DE⊥BC,
∴∠AED是二面角D-BC-A的平面角,
AE=3$\sqrt{3}$,DE=$\sqrt{D{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$,
∴cos∠AED=$\frac{A{E}^{2}+D{E}^{2}-A{D}^{2}}{2•AE•DE}$=$\frac{27+7-16}{2•3\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$\frac{18}{6\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
∴二面角D-BC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法,考查線面角、二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意合理地轉(zhuǎn)化空間問題為平面問題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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