12.已知一個(gè)正△ABC的邊長為6cm,點(diǎn)D到△ABC各頂點(diǎn)的距離都是4cm.求:
(1)點(diǎn)D到△ABC所在平面的距離;
(2)DB與平面ABC所成角的余弦值;
(3)二面角D-BC-A的余弦值.

分析 (1)作DO⊥平面ABC,O為垂足,則O是等邊△ABC的重心,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,OA,利用勾股定理能求出點(diǎn)D到△ABC所在平面的距離.
(2)由DO⊥平面ABC,知∠DBO是DB與平面ABC所成角,由此能求出DB與平面ABC所成角的余弦值.
(3)由已知得AE⊥BC,DE△BC,從而∠AED是二面角D-BC-A的平面角,由此能求出二面角D-BC-A的余弦值.

解答 解:(1)作DO⊥平面ABC,O為垂足,
∵正△ABC的邊長為6cm,點(diǎn)D到△ABC各頂點(diǎn)的距離都是4cm,
∴O是等邊△ABC的重心,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,OA,
由題意得AO=$\frac{2}{3}AE$=$\frac{2}{3}\sqrt{36-9}$=2$\sqrt{3}$,
∴點(diǎn)D到△ABC所在平面的距離DO=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{16-12}$=2(cm).
(2)∵DO⊥平面ABC,∴∠DBO是DB與平面ABC所成角,
∵BO=AO=2$\sqrt{3}$,
∴cos∠DBO=$\frac{BO}{DB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴DB與平面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(3)∵AB=AC=BC=6,DB=DC=4,E是BC中點(diǎn),
∴AE⊥BC,DE⊥BC,
∴∠AED是二面角D-BC-A的平面角,
AE=3$\sqrt{3}$,DE=$\sqrt{D{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$,
∴cos∠AED=$\frac{A{E}^{2}+D{E}^{2}-A{D}^{2}}{2•AE•DE}$=$\frac{27+7-16}{2•3\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$\frac{18}{6\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
∴二面角D-BC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法,考查線面角、二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意合理地轉(zhuǎn)化空間問題為平面問題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知等比數(shù)列{an}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且3a1,$\frac{1}{2}$a3,2a2成等差數(shù)列,則$\frac{{{a_{2016}}+{a_{2017}}}}{{{a_{2015}}+{a_{2016}}}}$等于(  )
A.3B.9C.27D.81

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.已知函數(shù)f(x)=2017x+log2017($\sqrt{{x}^{2}+1}$+x)-2017-x,則關(guān)于x的不等式f(2x+3)+f(x)>0的解集是( 。
A.(-3,+∞)B.(-∞,-3)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-y≤0}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$,表示的平面區(qū)域?yàn)镸,若直線y=kx-2上存在M內(nèi)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。
A.[1,3]B.(-∞,1]∪[3,+∞)C.[2,5]D.(-∞,2]∪[5,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知函數(shù)f(x)=|x+$\frac{1}{x}$-ax-b|(a,b∈R),當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$,2]時(shí),設(shè)f(x)的最大值為M(a,b),則M(a,b)的最小值為$\frac{1}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=xe-x+(x-2)ex-a
(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a>2時(shí),若ex•f(x)≥x2-2x+1對(duì)任意x≥1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.曲線y=e-x在點(diǎn)A(0,1)處切線斜率為( 。
A.1B.-1C.eD.$\frac{1}{e}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某校舉行詩詞大賽.經(jīng)過層層選拔,最終甲乙兩人進(jìn)入決賽,爭(zhēng)奪冠亞軍.決賽規(guī)則如下:①比賽共設(shè)有五道題;②比賽前兩人答題的先后順序通過抽簽決定后,雙方輪流答題,每次回答一道,;③若答對(duì),自己得1分;若答錯(cuò),則對(duì)方得1分;④先得 3 分者獲勝.已知甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$,且每次答題的結(jié)果相互獨(dú)立.
(Ⅰ)若乙先答題,求甲3:0獲勝的概率;
(Ⅱ)若甲先答題,記乙所得分?jǐn)?shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,則$(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC})•(\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA})$=( 。
A.-2B.$-\frac{3}{2}$C.1D.3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案