1．為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校舉行詩詞大賽．經(jīng)過層層選拔，最終甲乙兩人進(jìn)入決賽，爭奪冠亞軍．決賽規(guī)則如下：①比賽共設(shè)有五道題；②比賽前兩人答題的先后順序通過抽簽決定后，雙方輪流答題，每次回答一道，；③若答對，自己得1分；若答錯(cuò)，則對方得1分；④先得 3 分者獲勝．已知甲、乙答對每道題的概率分別為$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，且每次答題的結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若乙先答題，求甲3：0獲勝的概率；
（Ⅱ）若甲先答題，記乙所得分?jǐn)?shù)為 X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX．

分析 （I）設(shè)“乙先答題，甲3：0獲勝”為事件A，只能是答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)2道題，甲答對1道題．
即可得出．
（II）由題意可得：X的可能取值為0，1，2，3．
①X=0時(shí)，則答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)1道題，甲答對2道題，此時(shí)甲得3分，乙得0分，即可得出．
②X=1，則答完4道題結(jié)束，此時(shí)共有一下3種情況：甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對乙錯(cuò)；甲對乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)；甲對乙對甲對乙錯(cuò)．
③X=2，則第5次必須是甲答對，此時(shí)共有一下6種情況：甲對乙對甲對乙對甲對；甲對乙對甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對；甲對乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙對甲對；甲錯(cuò)乙對甲對乙錯(cuò)甲對；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對乙對甲對；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對．
④X=3，P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）．

解答 解：（I）設(shè)“乙先答題，甲3：0獲勝”為事件A，只能是答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)2道題，甲答對1道題．
則P1=$（1-\frac{3}{4}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{24}$．
（II）由題意可得：X的可能取值為0，1，2，3．
①X=0時(shí)，則答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)1道題，甲答對2道題，此時(shí)甲得3分，乙得0分，則P（X=0）=$\frac{2}{3}×$$（1-\frac{3}{4}）$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$．
②X=1，則答完4道題結(jié)束，此時(shí)共有一下3種情況：甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對乙錯(cuò)；甲對乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)；
甲對乙對甲對乙錯(cuò)．
∴P（X=1）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{4}$）+$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{4}$）×$（1-\frac{2}{3}）$×（1-$\frac{3}{4}$）+$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{9}$．
③X=2，則第5次必須是甲答對，此時(shí)共有一下6種情況：甲對乙對甲對乙對甲對；甲對乙對甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對；甲對乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙對甲對；甲錯(cuò)乙對甲對乙錯(cuò)甲對；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對乙對甲對；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對．
∴P（X=2）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{4}）×\frac{2}{3}$×4+$（\frac{2}{3}）^{3}×（\frac{3}{4}）^{2}$+$（1-\frac{2}{3}）^{2}×（1-\frac{3}{4}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{61}{216}$．
④X=3，P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=1-$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{9}$-$\frac{61}{216}$=$\frac{107}{216}$．
其分布列為：

 X 0 1 2 3
 P $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{9}$$\frac{61}{216}$ $\frac{107}{216}$
E（X）=0+$1×\frac{1}{9}$+2×$\frac{61}{216}$+3×$\frac{107}{216}$=$\frac{467}{216}$．

點(diǎn)評 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、相互對立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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15．設(shè)${（{2{x^2}+1}）^5}={a_0}+{a_1}{x^2}+{a_2}{x^4}+…+{a_5}{x^{10}}，則{a_3}$的值為80．

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12．已知一個(gè)正△ABC的邊長為6cm，點(diǎn)D到△ABC各頂點(diǎn)的距離都是4cm．求：
（1）點(diǎn)D到△ABC所在平面的距離；
（2）DB與平面ABC所成角的余弦值；
（3）二面角D-BC-A的余弦值．

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9．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1，n∈N*}，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n-1．

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16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），A（$\frac{1}{3}$，0）為f（x）圖象的對稱中心，B，C是該圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若BC=4，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　　）
A．（2k-$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{4}{3}$），k∈ZB．（2kπ-$\frac{2}{3}$π，2kπ+$\frac{4}{3}$π），k∈Z
C．（4k-$\frac{2}{3}$，4k+$\frac{4}{3}$），k∈ZD．（4kπ-$\frac{2}{3}$π，4kπ+$\frac{4}{3}$π），k∈Z

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6．若函數(shù)f（x）滿足f（x）=x（f′（x）-lnx），且f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，則ef（ex）＜f′（$\frac{1}{e}$）+1的解集是（　　）
A．（-∞，-1）B．（-1，+∞）C．（0，$\frac{1}{e}$）D．（$\frac{1}{e}$，+∞）

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13．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，連結(jié)QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí)，求直線m的方程．

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10．已知數(shù)列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$．
（1）證明：數(shù)列{nan}是等差數(shù)列；
（2）記${b_n}=\frac{1}{{{n^2}{a_n}}}$，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜1．

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11．若集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|lg（x+1）＞0}，則A∩B等于（　�。�
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