Question

7．已知函數(shù)f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，則關(guān)于x的不等式f（2x+3）+f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-3，+∞）
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，-1）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對(duì)于f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，分析其奇偶性與單調(diào)性，可得f（x）為奇函數(shù)且增函數(shù)，從而原不等式可以轉(zhuǎn)化為2x+3＞-x，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，
其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=2017^-x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2017^x
=-（2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x）=-f（x）；
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
對(duì)于f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，分析易得其為增函數(shù)；
f（2x+3）+f（x）＞0?f（2x+3）＞-f（x）?f（2x+3）＞f（-x）?2x+3＞-x，
解可得x＞-1；
即不等式f（2x+3）+f（x）＞0的解集是（-1，+∞），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性．