Question

15．已知實數(shù)c＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y=（2c-1）^x在R上單調(diào)遞減；命題q：不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，如果p∨q為真，p∧q為假，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 如果p∨q為真，p∧q為假，則p，q只能一真一假，進而得到答案．

解答 解：由函數(shù)y=（2c-1）^x在R上單調(diào)遞減可得，0＜2c-1＜1，解得$\frac{1}{2}＜c＜1$．
設(shè)函數(shù)$f（x）=x+|x-2c|=\left\{{\begin{array}{l}{2x-2c，x≥2c}\\{2c，\begin{array}{l}{\;}&{x＜c}\end{array}}\end{array}}\right.$，可知f（x）的最小值為2c，
要使不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，只需$2c＞1，c＞\frac{1}{2}$，
因為p或q為真，p且q為假，所以p，q只能一真一假，
當p真q假時，有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜c＜1}\\{c≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，無解；
當p假q真時，有$\left\{{\begin{array}{l}{0≤c≤\frac{1}{2}，c≥1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，可得c≥1，
綜上，c的取值范圍為c≥1．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題，復合命題，難度中檔．