Question

11．已知F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B，則下列各式為定值的是（　�。�

• A． |AF|+|BF|
• B． |AF|•|BF|
• C． |BF|²+|AF|²
• D． $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線方程與y²=2px聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 設(shè)解：過(guò)焦點(diǎn)F的直線方程為 y=k（x-$\frac{p}{2}$），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=k（x-$\frac{p}{2}$）與y²=2px聯(lián)立消y得k²（x-$\frac{p}{2}$）²=2px，
∴k²x²-（k²p+2p）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴|FA|=x₁+$\frac{p}{2}$，|FB|=x₂+$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{（{x}_{1}+\frac{p}{2}）（{x}_{2}+\frac{p}{2}）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2}{p}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．