【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|+|x﹣t|(t∈R)
(1)t=2時(shí),求不等式f(x)>2的解集;
(2)若對于任意的t∈[1,2],x∈[﹣1,3],f(x)≥a+x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)t=2時(shí),f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|,

若x≤1,則f(x)=3﹣2x,于是由f(x)>2,解得x< ,綜合得x< ;

若1<x<2,則f(x)=1,顯然f(x)>2不成立;

若x≥2,則f(x)=2x﹣3,于是由f(x)>2,解得x> ,綜合得x>

∴不等式f(x)>2的解集為{x|x< ,或x> }


(2)解:f(x)≥a+x等價(jià)于a≤f(x)﹣x,令g(x)=f(x)﹣x,

當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí),g(x)=1+t﹣3x,顯然g(x)min=g(1)=t﹣2,

當(dāng)1<x<t時(shí),g(x)=t﹣1﹣x,此時(shí)g(x)>g(1)=t﹣2,

當(dāng)t≤x≤3時(shí),g(x)=x﹣t﹣1,g(x)min=g(1)=t﹣2,

∴當(dāng)x∈[1,3]時(shí),g(x)min=t﹣2,

又∵t∈[1,2],

∴g(x)min≤﹣1,即a≤﹣1,

綜上,a的取值范圍是a≤﹣1


【解析】(1)通過討論x的范圍,去掉絕對值解關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可;(2)問題等價(jià)于a≤f(x)﹣x,令g(x)=f(x)﹣x,求出g(x)的最小值,從而求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號(hào)才能正確解答此題.

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