【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|+|x﹣t|(t∈R)
(1)t=2時(shí),求不等式f(x)>2的解集;
(2)若對于任意的t∈[1,2],x∈[﹣1,3],f(x)≥a+x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)t=2時(shí),f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|,
若x≤1,則f(x)=3﹣2x,于是由f(x)>2,解得x< ,綜合得x< ;
若1<x<2,則f(x)=1,顯然f(x)>2不成立;
若x≥2,則f(x)=2x﹣3,于是由f(x)>2,解得x> ,綜合得x>
∴不等式f(x)>2的解集為{x|x< ,或x> }
(2)解:f(x)≥a+x等價(jià)于a≤f(x)﹣x,令g(x)=f(x)﹣x,
當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí),g(x)=1+t﹣3x,顯然g(x)min=g(1)=t﹣2,
當(dāng)1<x<t時(shí),g(x)=t﹣1﹣x,此時(shí)g(x)>g(1)=t﹣2,
當(dāng)t≤x≤3時(shí),g(x)=x﹣t﹣1,g(x)min=g(1)=t﹣2,
∴當(dāng)x∈[1,3]時(shí),g(x)min=t﹣2,
又∵t∈[1,2],
∴g(x)min≤﹣1,即a≤﹣1,
綜上,a的取值范圍是a≤﹣1
【解析】(1)通過討論x的范圍,去掉絕對值解關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可;(2)問題等價(jià)于a≤f(x)﹣x,令g(x)=f(x)﹣x,求出g(x)的最小值,從而求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號(hào)才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓C1: + =1(a>b>0),長軸的右端點(diǎn)與拋物線C2:y2=8x的焦點(diǎn)F重合,且橢圓C1的離心率是 .
(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過F作直線l交拋物線C2于A,B兩點(diǎn),過F且與直線l垂直的直線交橢圓C1于另一點(diǎn)C,求△ABC面積的最小值,以及取到最小值時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,不等式 的解集為[-1,5]
(1)求實(shí)數(shù) 的值;
(2)若 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (a為常數(shù),a≠0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(3,f(3))的切線方程
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若f(x)在x0處取得極值,且 ,而f(x)≥0在[e+2,e3+2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a<b<c,C=2A.
(1)若c= a,求角A;
(2)是否存在△ABC恰好使a,b,c是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)?若存在,求△ABC的周長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣2an+1an , an≠0且a1=1
(1)求證:數(shù)列 是等差數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令 ,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)的和T2n .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)的高一、高二、高三共有學(xué)生1350人,其中高一500人,高三比高二少50人,為了解該校學(xué)生健康狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有高一學(xué)生120人,則該樣本中的高二學(xué)生人數(shù)為( )
A.80
B.96
C.108
D.110
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),曲線C1的方程為ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),Q為AP的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線l與直線C2交于M,N兩點(diǎn),若|MN|≥2 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x.
(i) 當(dāng)a=2時(shí),滿足不等式f(x)>0的x的取值范圍為;
(ii) 若函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
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