Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x²+y²-4x+2y=0．若直線y=3x+b上存在一點(diǎn)P，使過(guò)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是-17≤b≤3．

Answer 1

分析 由題意可得圓心為C（2，-1），半徑r=$\sqrt{5}$，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，圓心到直線y=3x+b的距離小于或等于PC=$\sqrt{10}$，由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：圓C：x²+y²-4x+2y=0化為（x-2）²+（y+1）²=5，
圓心C（2，-1），半徑為r=$\sqrt{5}$，如圖，
設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，
則由題意可得四邊形PACB為正方形，
故有PC=$\sqrt{2}r=\sqrt{10}$，
∴圓心到直線y=3x+b的距離小于或等于PC=$\sqrt{10}$，
即$\frac{|3×2-1×（-1）+b|}{\sqrt{10}}≤\sqrt{10}$，解得-17≤b≤3．
故答案為：-17≤b≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．