Question

5．空間直角坐標系中，已知A（2，3，-1），B（2，6，2），C（1，4，-1），則直線AB與AC的夾角為60°．

Answer 1

分析 根據空間向量的坐標表示，得出$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$的坐標，利用向量的夾角公式求出向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$的夾角即可．

解答 解：空間直角坐標系中，A（2，3，-1），B（2，6，2），C（1，4，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，3，3），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0×（-1）+3×1+3×0=3，
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{0}^{2}{+3}^{2}{+3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+1}^{2}{+0}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$的夾角為60°，
即直線AB與AC的夾角為60°．
故答案為：60°．

點評 本題考查了空間向量的坐標表示與夾角公式的應用問題，是基礎題目．