Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）³-ax-b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，求證：x₁+2x₀=3；
（3）設(shè)$\frac{3}{4}≤a＜3$，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出${（{x_0}-1）^2}=\frac{a}{3}$，得到f（x₀）的解析式，求出f（3-2x₀）=f（x₀）=f（x₁），從而證出結(jié)論即可；
（3）求出f（x）在區(qū)間[0，2]上的取值范圍，求出M的最大值，從而證出結(jié)論即可．

解答 （1）解：由f（x）=（x-1）³-ax-b，可得f'（x）=3（x-1）²-a．
下面分兩種情況討論：
①當(dāng)a≤0時(shí)，有f'（x）=3（x-1）²-a≥0恒成立，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，解得$x=1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}$，或$x=1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	$（-∞，1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）$	$1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}$	$（1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}，1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）$	$1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}$	$（1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}，1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）$，單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）$，$（1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}，+∞）$．
（2）證明：因?yàn)閒（x）存在極值點(diǎn)，所以由（1）知a＞0，且x₀≠1，
由題意，得$f'（{x_0}）=3{（{x_0}-1）^2}-a=0$，即${（{x_0}-1）^2}=\frac{a}{3}$，
進(jìn)而$f（{x_0}）=-\frac{2a}{3}{x_0}-\frac{a}{3}-b$，
又$f（3-2{x_0}）={（2-2{x_0}）^3}-3（3-2{x_0}）{（{x_0}-1）^2}-b$=${（{x_0}-1）^2}（8-8{x_0}-9+6{x_0}）-b$=${（{x_0}-1）^2}（-2{x_0}-1）-b$，
即為f（3-2x₀）=f（x₀）=f（x₁），即有3-2x₀=x₁，即為x₁+2x₀=3．
（3）證明：設(shè)g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為M，max{x，y}表示x，y兩數(shù)的最大值；
當(dāng)$\frac{3}{4}≤a＜3$時(shí)，$1-\frac{{2\sqrt{3a}}}{3}≤0＜1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}＜2≤1+\frac{{2\sqrt{3a}}}{3}$，
由（1）（2）知，$f（0）≥f（1-\frac{{2\sqrt{3a}}}{3}）=f（1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）$，$f（2）≤f（1+\frac{{2\sqrt{3a}}}{3}）=f（1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）$，
所以f（x）在區(qū)間[0，2]上的取值范圍為$[{f（1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}），f（1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）}]$，
因此$M=max\left\{{|f（1+\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）|，|f（1-\frac{{\sqrt{3a}}}{3}）|}\right\}$
=$max\left\{{|1-\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-a-b|，|\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-a-b|}\right\}$
=$max\left\{{|1-\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-（a+b）|，|\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-（a+b）|}\right\}$
=$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}+|a+b|≥\frac{2}{9}×\frac{3}{4}×\sqrt{3×\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．