Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-|2x+1|的最大值為m
（1）作函數(shù)f（x）的圖象
（2）若a²+b²+2c²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍：x≤-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$＜x≤1，x≥1，去掉絕對(duì)值，寫出分段函數(shù)的形式，畫出圖象；
（2）通過圖象可得最大值m，設(shè)a²+b²+2c²=a²+tb²+（1-t）b²+2c²≥2$\sqrt{t}$ab+2$\sqrt{2（1-t）}$bc，令2$\sqrt{t}$：2$\sqrt{2（1-t）}$=1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{1-x+2x+1=x+2，x≤-\frac{1}{2}}\\{1-x-2x-1=-3x，-\frac{1}{2}＜x≤1}\\{x-1-2x-1=-x-2，x＞1}\end{array}\right.$，
由分段函數(shù)的圖象畫法可得圖象如右；
（2）由（1）知，當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$，即m=$\frac{3}{2}$；
∴a²+b²+2c²=$\frac{3}{2}$，
設(shè)a²+b²+2c²=a²+tb²+（1-t）b²+2c²≥2$\sqrt{t}$ab+2$\sqrt{2（1-t）}$bc，
令2$\sqrt{t}$：2$\sqrt{2（1-t）}$=1：2，即8（1-t）=16t    得：t=$\frac{1}{3}$，
∴a²+b²+2c²=a²+$\frac{1}{3}$b²+$\frac{2}{3}$b²+2c²≥2•$\frac{\sqrt{3}}{3}$ab+4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ （ab+2bc）
∴ab+2bc≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a²+b²+2c²）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)a²=c²=$\frac{1}{4}$，b²=$\frac{3}{4}$時(shí)取“=”號(hào)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查最值的求法，注意運(yùn)用圖象和基本不等式，考查變形和化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．