Question

5．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^ax+b，且f（1）=$\frac{3}{2}$，f（2）=$\frac{15}{4}$．
（1）求a，b；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可；
（3）將m分離出來(lái)，然后求等號(hào)另一邊關(guān)于x的函數(shù)的最值，借助于單調(diào)性求該函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由f（1）=$\frac{3}{2}$，f（2）=$\frac{15}{4}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{2a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
（2）由（1）得：f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
f′（x）=2^-x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$=-（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)；
（3）由2^tf（2t）+mf（t）≥0⇒2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，
m（2^t-2^-t_）≥-2^t（2^2t-2^-2t），
又t∈[1，2]⇒2^t-2^-t＞0，
m≥-2^t（2^t+2^-t）
即m≥-2^2t-1．
只需m≥（-2^2t-1）_max
令y=-2^2t-1，易知該函數(shù)在t∈[1，2]上是減函數(shù)，
所以y_max=-2²-1=-5．
綜上 m≥-5．

點(diǎn)評(píng) 本題的第三問(wèn)要仔細(xì)體會(huì)將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解得基本思路，要注意總結(jié)．同時(shí)要注意利用換元法在此類問(wèn)題時(shí)，中間變量t的范圍．