Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-1|}（x≠1）}\\{1（x=1）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，設(shè)m=b+2c，則m的取值范圍是m=0或m≤-1．

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)得到函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱．從而得出f²（x）+bf（x）+c=0有且只有一正根f（x）=1，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出函數(shù)的圖象如圖：易知f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
設(shè)t=f（x），則當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=t有3個(gè)根，
當(dāng)t＞0且t≠1時(shí)，方程f（x）=t有2個(gè)根，
當(dāng)t≤0時(shí)，方程f（x）=t有0個(gè)根，
對(duì)于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一個(gè)關(guān)于f（x）的一元二次方程，
若方程f²（x）+bf（x）+c=0，有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，
則此一元二次方程t²+bt+c=0有且只有一個(gè)正根1，即f（x）=1，
此時(shí)x₁，x₂，x₃三個(gè)數(shù)中有一個(gè)是1，
另兩個(gè)關(guān)于x=1對(duì)稱，
①當(dāng)方程t²+bt+c=0有一根為1另一根為0時(shí)，b=-1，c=0，m=b+2c=-1．
②當(dāng)方程t²+bt+c=0只有一根為1時(shí)，△=b²-4c=0，1+b+c=0，解得b=-2，c=1，m=b+2c=0．
③當(dāng)方程t²+bt+c=0有一根為1另一根為負(fù)時(shí)，△=b²-4c＞0，1+b+c=0，c＜0，解得b=-2，c=1，
m=b+2c=-1+c＜-1，
綜上m的取值范圍是：m=0或m≤-1
故答案為：m=0或m≤-1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．屬于難題．