Question

如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且為正三角形.

（1）求證：平面；
（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）由等腰三角形三線合一得到，由中位線得到，從而得到，利用并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到，再結(jié)合以及直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是利用（1）中的條件得到平面，以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為底面計(jì)算三棱錐的體積，然后更換頂點(diǎn)，變成以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為底面來計(jì)算三棱錐，利用等體積法從而計(jì)算三棱錐的高，即點(diǎn)到平面的距離；解法二是作或其延長線于點(diǎn)，然后證明平面，從而得到的長度為點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而計(jì)算的長度即可.
試題解析：（1）證明：在正中，是的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e7/c/dwmsp.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，故．
又，，、平面，
所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/48/7/rgn1l2.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，
又，，、平面，
所以平面；

（2）解法1：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/14/f/1jnhi4.png" style="vertical-align:middle;" />，是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/5/136es2.png" style="vertical-align:middle;" />為正三角形，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/96/3/odv2v1.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/29/8/1weoj3.png" style="vertical-align:middle;" />，
由（1）知，所以，
在中，，
所以.
因?yàn)?