Question

已知f(x)=sin(x+

π

6

)-cos(x+

π

3

)，g(x)=2sin2

x

2

．
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（a）=

3 3

5

，求g（a）的值；
（Ⅱ）求函數f（x）+g（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）展開兩角和與差的正弦和余弦公式，化簡f（x）的表達式，代入f（α）=

3 3

5

求出cosα的值，從而得到
g（α）的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中化簡得f（x）的表達式得到f（x）+g（x），然后由復合函數的單調性求得函數f（x）+g（x）的單調遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=sin(x+

π

6

)-cos(x+

π

3

)，得
f（x）=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

-cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

=

3

2

sinx+

1

2

cosx-

1

3

cosx+

3

2

sinx=

3

sinx．
∵f（α）=

3 3

5

，∴

3

sinα=

3 3

5

．
故sinα=

3

5

．
又α是第一象限角，∴cosα=

4

5

．
從而g（α）=2sin2

α

2

=1-cosα=1-

4

5

=

1

5

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
f（x）+g（x）=

3

sinx+2sin2

x

2

=

3

sinx-cosx+1
=2sin（x-

π

6

）+1．
當f（x）+g（x）單調遞減時，有：

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

3

2

π+2kπ，k∈z．
即

2

3

π+2kπ≤x≤

5

3

π+2kπ，k∈z．
∴f（x）+g（x）的單調遞減區(qū)間為：
[

2

3

π+2kπ，

5

3

π+2kπ]，k∈z．

點評：本題考查了三角函數中的恒等變換的應用，考查了兩角和與差的正余弦公式，訓練了與三角函數有關的復合函數的單調性的求法，是中檔題．