Question

18．△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CD（不含端點(diǎn)）上，且滿足$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），則$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值為（　�。�

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $2+2\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根據(jù)C，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線可得x，y的關(guān)系，再利用基本不等式解出．

解答 解：$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=2x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AC}$，
因?yàn)镃，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，
所以2x+y=1且x＞0，y＞0，
則$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=（{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}}）（2x+y）=4+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}≥4+2\sqrt{\frac{y}{x}\;•\;\frac{4x}{y}}=8$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x}=\frac{4x}{y}$，即$x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{1}{2}$時(shí)，上式取等號(hào)，
故$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$有最小值8，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．