Question

6．點(diǎn)P為直線y=$\frac{3}{4}$x上任一點(diǎn)，F(xiàn)₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），則||PF₁|-|PF₂||的取值范圍為[0，8.5]．

Answer 1

分析 由題意，P在原點(diǎn)時(shí)，||PF₁|-|PF₂||=0，求出F₂（5，0）關(guān)于直線y=$\frac{3}{4}$x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可得||PF₁|-|PF₂||的最大值，即可求出||PF₁|-|PF₂||的取值范圍．

解答 解：由題意，P在原點(diǎn)時(shí)，||PF₁|-|PF₂||=0，
F₂（5，0）關(guān)于直線y=$\frac{3}{4}$x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為F（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-5}•\frac{3}{4}=-1}\\{\frac{2}=\frac{3}{4}•\frac{a+5}{2}}\end{array}\right.$，∴a=$\frac{9}{5}$，b=$\frac{51}{10}$，
∴||PF₁|-|PF₂||的最大值為$\sqrt{（\frac{9}{5}+5）^{2}+（\frac{51}{10}）^{2}}$=8.5，
∴||PF₁|-|PF₂||的取值范圍為[0，8.5]．
故答案為：[0，8.5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查||PF₁|-|PF₂||的取值范圍，考查對(duì)稱性的運(yùn)用，屬于中檔題．