Question

15．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F（2，0），設(shè)A，B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}=0$，若直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），滿足$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}=0$，再由點(diǎn)A在雙曲線上且直線AB的斜率，得到關(guān)于x₁、y₁、a、b的方程組，聯(lián)解消去x₁、y₁得到關(guān)于a、b的等式，結(jié)合b²+a²=c²解出a=$\sqrt{3}$-1，可得離心率e的值．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
∵焦點(diǎn)F（2，0），$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}=0$，
可得$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=（x₁-2）（-x₁-2）-y₁²=0，
即為x₁²+y₁²=4，…①
又∵點(diǎn)A在雙曲線上，且直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1}\\{{y}_{1}=\sqrt{3}{x}_{1}}\end{array}\right.$，…②．
由①②聯(lián)解消去x₁、y₁，得$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{^{2}}$=1，…③
又∵F（2，0）是雙曲線的右焦點(diǎn)，可得b²=c²-a²=4-a²，
∴代入③，化簡整理得a⁴-8a²+4=0，解之得a²=4+2$\sqrt{3}$或4-2$\sqrt{3}$，
由于a²＜c²=4，所以a²=4+2$\sqrt{3}$不合題意，舍去．
∴a²=4-2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$-1）²，
∴a=$\sqrt{3}$-1，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案為：$\sqrt{3}$+1

點(diǎn)評(píng) 本題給出雙曲線滿足的條件，求它的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、參數(shù)a、b、c的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．