【題目】如圖,已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢園C交于,兩點(diǎn),直線與線的斜率之積為,證明:直線過定點(diǎn),并求的面積的最大值.
【答案】(1);(2)證明見解析,的面積的最大值.
【解析】
(1)求出后可得橢圓的方程.
(2)設(shè)MN:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立化為(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,△>0.由kBMkBN
利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)可得:m2+2m﹣3=0,解得m.再求得|MN|,點(diǎn)B到直線MN的距離d,可得S△BMN,通過換元利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
(1)因?yàn)橐粋(gè)頂點(diǎn)為,故,又離心為,故即,
所以,故橢圓方程為:.
(2)若直線的斜率不存在,則設(shè),
此時(shí),與題設(shè)條件矛盾,故直線的斜率必存在.
設(shè)MN:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立,化為(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
△=16(4k2﹣m2+1)>0,
∴x1+x2,∴x1x2.
∵kBMkBN
∴x1x2+k(m﹣1)(x1+x2)+(m﹣1)2=0,
∴k(m﹣1)(m﹣1)2=0,
化為m2+2m﹣3=0,解得m=﹣3或m=1(舍去).
即直線過定點(diǎn)(0,﹣3)
∴|MN|
點(diǎn)B到直線MN的距離d.
∴S△BMNMNd.
由m=﹣3,△>0,可知:k2﹣2>0,令t>0,
∴k2=t2+2,
∴S,當(dāng)且僅當(dāng)t,即k=±時(shí),Smax.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)對(duì)年銷售量(單位:t)的影響.該公司對(duì)近5年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x(萬元)和年銷售量y(單位:t)具有線性相關(guān)關(guān)系,并對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為,根據(jù)(1)中的結(jié)果回答下列問題:
①當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬元時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?
②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi),才能使得年利潤(rùn)與年宣傳費(fèi)的比值最大.
附:回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形,且平面平面,為的中點(diǎn),,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)直線上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列關(guān)于命題的說法錯(cuò)誤的是( )
A. 命題“若,則”的逆否命題為“若,則”
B. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件
C. 命題“,使得”的否定是“,均有”
D. “若為的極值點(diǎn),則”的逆命題為真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,且滿足.
(1)若直線的斜率為1,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)若,求 的最大值;
(Ⅲ)設(shè),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線,求k.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲和乙兩個(gè)人計(jì)劃周末參加志愿者活動(dòng),約定在周日早上8:00至8:30之間到某公交站搭乘公交車一起去,已知在這段時(shí)間內(nèi),共有班公交車到達(dá)該站,到站的時(shí)間分別為8:05,8:15,8:30,如果他們約定見車就搭乘,則甲和乙兩個(gè)人恰好能搭乘同一班公交車去的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,若{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<.
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