Question

12．已知橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點F（1，0），橢圓Γ的左，右頂點分別為M，N．過點F的直線l與橢圓交于C，D兩點，且△MCD的面積是△NCD的面積的3倍．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）若CD與x軸垂直，A，B是橢圓Γ上位于直線CD兩側(cè)的動點，且滿足∠ACD=∠BCD，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由橢圓右焦點F（1，0），△MCD的面積是△NCD的面積的3倍，求出a，b，由此能求出橢圓Γ的方程．
（II）法一：當(dāng)∠ACD=∠BCD，則k_AC+k_BC=0，設(shè)直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為-k，則AC的直線方程為$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（3+4k²）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0，由此能求出直線AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．
法二：設(shè)AB方程：y=kx+m，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件，能求出直線AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（I）因為橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點F（1，0），
所以c=1，
因為△MCD的面積是△NCD的面積的3倍，
所以MF=3NF，即a+c=3（a-c），所以a=2c=2，所以b²=3，
則橢圓Γ的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．   …（4分）
（II）解法一：當(dāng)∠ACD=∠BCD，則k_AC+k_BC=0，
設(shè)直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為-k，
不妨設(shè)點C在x軸上方，$C（{1，\frac{3}{2}}）$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則AC的直線方程為$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（3+4k²）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0，$1+{x_1}=\frac{{4k（{2k-3}）}}{{（{3+4{k^2}}）}}$；
同理$1+{x_2}=\frac{{4k（{2k+3}）}}{{（{3+4{k^2}}）}}$．  …（8分）
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}-6}}{{（{3+4{k^2}}）}}$，${x_1}-{x_2}=\frac{-24k}{{（{3+4{k^2}}）}}$，…（10分）
則${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k（{{x_1}+{x_2}}）-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{1}{2}$，
因此直線AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$． …（12分）
（II）解法二：依題意知直線AB的斜率存在，所以設(shè)AB方程：y=kx+m，
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，…（6分）
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=16（12k²-3m²+9）＞0
當(dāng)∠ACD=∠BCD，則k_AC+k_BC=0，不妨設(shè)點C在x軸上方，$C（{1，\frac{3}{2}}）$，
所以$\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}=0$，整理得$2k{x_1}{x_2}+（m-\frac{3}{2}）（{x_1}+{x_2}）-2m+3=0$，…（8分）
所以$2k•\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}+（m-\frac{3}{2}）（-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}）-2m+3=0$，
整理得12k²+12（m-2）k+9-6m=0，…（9分）
即（6k-3）（2k+2m-3）=0，所以2k+2m-3=0或6k-3=0．…（10分）
當(dāng)2k+2m-3=0時，直線AB過定點$C（{1，\frac{3}{2}}）$，不合題意；
當(dāng)6k-3=0時，$k=\frac{1}{2}$，符合題意，
所以直線AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$． …（12分）

點評 本題考查橢圓方程、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．