Question

9．在△ABC中，tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則△ABC的形狀為等邊三角形．

Answer 1

分析 對已知等式變心求得tanC的值進(jìn)而求得C，然后利用正弦的兩角和公式求得cosAsinB的值，最后利用正弦的兩角和公式求得sin（A-B）=0，判斷出A=B，最后推斷出三角形為正三角形．

解答 解：△ABC中，∵tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}•（tanAtanB-1）}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$=-tanC，∴tanC=$\sqrt{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$，A+B=$\frac{2π}{3}$．
又sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=0，∴A=B，∴△ABC為等邊三角形，
故答案為：等邊三角形．

點評 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)和正弦函數(shù)公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生對三角函數(shù)公式的靈活運用，屬于中檔題．