Question

5．已知函數(shù)$f（x）=x{e^x}-\frac{m}{2}{x^2}-mx$，則函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值不可能為（　�。�

• A． $e-\frac{3}{2}m$
• B． $-\frac{1}{2}m{ln^2}m$
• C． 2e²-4m
• D． e²-2m

Answer 1

分析 f′（x）=e^x+xe^x-m（x+1）=（x+1）（me^x-1）．對a分類討論：當m≤$\frac{1}{e}$時，當e＞m＞$\frac{1}{e}$時，當m≥e時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答 解：f′（x）=e^x+xe^x-m（x+1）=（x+1）（me^x-1），
①當m≤$\frac{1}{e}$時，e^x-m＞0，由x≥-1，可得f′（x）≥0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=e-$\frac{3}{2}$m．
②當m≥e時，e^x-m≤0，由x≥-1，可得f′（x）≤0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當x=2時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（2）=2e²-4m．
③當e＞m＞$\frac{1}{e}$時，由e^x-m=0，解得x=lnm．
當-1≤x＜lnm時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當lnm＜x≤1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當x=lnm時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（lnm）=-$\frac{m}{2}l{n}^{2}m$．
 故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．