Question

1．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項a₁為a（a∈R），且$\frac{1}{a_1}，\frac{1}{a_2}，\frac{1}{a_4}$成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對n∈N^*，試比較$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_8}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$與$\frac{1}{a_1}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可知，$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$
可得d=a₁=a．即通項公式a_n=na．
（2）記T_n=$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_8}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$
T_n=$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{a}$•$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n}}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{a}$[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]．
，當a＞0時，T_n＜$\frac{1}{{a}_{1}}$；當a＜0時，T_n＞$\frac{1}{{a}_{1}}$．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可知，$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），從而a₁d=d²，
因為d≠0，所以d=a₁=a．故通項公式a_n=na．
（2）記T_n=$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_8}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$
因為a_2ⁿ=2ⁿa，
所以T_n=$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{a}$•$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n}}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{a}$[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]．
從而，當a＞0時，T_n＜$\frac{1}{{a}_{1}}$；
當a＜0時，T_n＞$\frac{1}{{a}_{1}}$．

點評 本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，考查了計算能力，屬于中檔題．