Question

9．（Ⅰ）比較（x+1）（x-3）與（x+2）（x-4）的大小．
（Ⅱ）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大．最大面積是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由作差法分析可得：（x+1）（x-3）-（x+2）（x-4）=（x²-2x-3）-（x²-2x-8）=5＞0，即可得（x+1）（x-3）＞（x+2）（x-4）；
（Ⅱ）設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，結(jié)合題意可得x+y=18，矩形菜園的面積為xym²．由基本不等式分析可得$\sqrt{xy}$≤$\frac{x+y}{2}$=$\frac{18}{2}$=9，即可得xy的最大值，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，因為（x+1）（x-3）-（x+2）（x-4）=（x²-2x-3）-（x²-2x-8）=5＞0，
故（x+1）（x-3）＞（x+2）（x-4）；
（Ⅱ）設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym．
則2（x+y）=36，即x+y=18，矩形菜園的面積為xym²．
由$\sqrt{xy}$≤$\frac{x+y}{2}$=$\frac{18}{2}$=9，可得xy≤81；
當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即x=y=9時，等號成立．
因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m²

點評 本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析題意，尋求x與y之間的關(guān)系．