Question

4．已知函數(shù)$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）-{2016^{-x}}$，則關于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． $（-∞，-\frac{1}{4}）$
• D． $（-\frac{1}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則原不等式f（3x+1）+f（x）＞0可以轉化為3x+1＞-x，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：對于函數(shù)$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）-{2016^{-x}}$，其定義域為R，
且$f（-x）={2016^（-x）}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}-x）-{2016^{-（-x）}}$=-f（x），為奇函數(shù)，
分析易得函數(shù)$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）-{2016^{-x}}$在R上為增函數(shù)，
則f（3x+1）+f（x）＞0?f（3x+1）＞-f（x）?f（3x+1）＞f（-x）?3x+1＞-x，
解可得x＞-$\frac{1}{4}$，即其解集為（-$\frac{1}{4}$，+∞）；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合運用，此類題目一般要利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，將原不等式轉化為關于x的簡單不等式．