15.已知函數(shù)f(x)=x3+x2f'(1).
(1)求f'(1)和函數(shù)x的極值;
(2)若關于x的方程f(x)=a有3個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程.

分析 (1)求導f′(x)=3x2+2f'(1)x,f′(1)=3+2f'(1),解得:f′(1)=-3,則f′(x)=3x(x-2),令f′(x)=0,解得:x=0,x=2,由函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系,即可求得f(x)的極值;
(2)由題意可知:y=a與f(x)有三個不同的交點,利用函數(shù)的圖象即可求得實數(shù)a的取值范圍;
(3)設切點(x0,x03-3x02),斜線斜率k=3x02-6x0,求得切線方程,由函數(shù)過(0,0),即可求得x0,即可求得直線l的方程.

解答 解:(1)由f(x)=x3+x2f'(1),求導f′(x)=3x2+2f'(1)x,
則f′(1)=3+2f'(1),解得:f′(1)=-3,
∴f(x)=x3-3x2,f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0,解得:x=0,x=2,
由x,f′(x),f(x)變化,

 x (-∞,0) 0 (0,2)(2,+∞) 
 f′(x)+ 0- 0+
 f(x)↑  極大值0 極小值-4
則當x=0,f(x)取極大值0,當x=2時,取極小值-4;
(2)由題意可知:y=a與f(x)有三個不同的交點,
由函數(shù)圖象可知:

∴-4<a<0,
(3)設切點(x0,x03-3x02),切線斜率k=3x02-6x0
則切線方程y-(x03-3x02)=(3x02-6x0)(x-x0),
由切線過(0,0),則-x03+3x02=-x0(3x02-6x0),解得:x0=0,或x0=$\frac{3}{2}$,
當x0=0,切線k=0,切線方程y=0,
當x0=$\frac{3}{2}$,切點($\frac{3}{2}$,-$\frac{27}{8}$),切線k=-$\frac{9}{4}$,切線方程y=-$\frac{9}{4}$x,
直線l的方程y=0或y=-$\frac{9}{4}$x.

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性及極值,考查導數(shù)的幾何意義,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.

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其中真命題的序號是④.

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(5)y=|f(x)|;
(6)y=f(|x|);
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