Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx+cosx，sinx-cosx）（x∈R），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則x的取值集合為（　�。�

• A． {x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z}
• B． {x|x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}
• C． {x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}
• D． {x|x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}

Answer 1

分析 由向量垂直的性質(zhì)得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）=0，由此利用二倍角公式、三角函數(shù)恒等變換能求出x的取值集合．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx+cosx，sinx-cosx）（x∈R），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）
=sin²x+sinxcosx+cosxsinx-cos²x
=2sinxcosx-（cos²x-sin²x）
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=0，
∴$2x-\frac{π}{4}=kπ$，k∈Z，
解得x的取值集合{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z}．
故選：A．

點評 本題考查角的取值集合的求法，涉及到向量垂直、二倍角公式、三角函數(shù)恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．