Question

5．如圖所示，∠PAQ是村里一個(gè)小湖的一角，其中∠PAQ=60°．為了給村民營(yíng)造豐富的休閑環(huán)境，村委會(huì)決定在直線湖岸AP與AQ上分別建觀光長(zhǎng)廊AB與AC，其中AB是寬長(zhǎng)廊，造價(jià)是800元/米；AC是窄長(zhǎng)廊，造價(jià)是400元/米；兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)預(yù)算為12萬(wàn)元（恰好都用完）；同時(shí)，在線段BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)D處建一個(gè)表演舞臺(tái)，并建水上通道AD（表演舞臺(tái)的大小忽略不計(jì)），水上通道的造價(jià)是600元/米．
（1）若規(guī)劃寬長(zhǎng)廊AB與窄長(zhǎng)廊AC的長(zhǎng)度相等，則水上通道AD的總造價(jià)需多少萬(wàn)元？
（2）如何設(shè)計(jì)才能使得水上通道AD的總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），由題意可得12x=12，即x=1，求得BD=$\frac{1}{3}$，在△ABD中，由余弦定理求得AD的長(zhǎng)，即可得到所求造價(jià)；
（2）設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為8x+4y=12，即2x+y=3，y=3-2x，運(yùn)用余弦定理求得BC，再在△ABC與△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，求得AD²的解析式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值．

解答 解：（1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），
則寬長(zhǎng)廊造價(jià)為8x萬(wàn)元，窄長(zhǎng)廊造價(jià)為4x萬(wàn)元，
故兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為12x萬(wàn)元，所以12x=12，得x=1，
又∠PAQ=60°，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
又點(diǎn)D為線段BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以BD=$\frac{1}{3}$，
在△ABD中，由余弦定理得
AD²=BA²+BD²-2BA•BD•cos∠ABD=1+$\frac{1}{9}$-2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{9}$，即AD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
又水上通道的造價(jià)是6萬(wàn)元/百米，所以水上通道的總造價(jià)為2$\sqrt{7}$萬(wàn)元．
（2）設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為8x+4y=12，
即2x+y=3，在△ABC中，由余弦定理得：
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=x²+y²-2xy•$\frac{1}{2}$=x²+y²-xy，
在△ABC與△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，得
$\frac{B{A}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2BA•BC}$=$\frac{B{A}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2BA•BD}$，又BC=3BD，
得AD²=$\frac{4}{9}$x²+$\frac{1}{9}$y²+$\frac{2}{9}$xy=$\frac{4}{9}$x²+$\frac{1}{9}$（3-2x）²+$\frac{2}{9}$x（3-2x）=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{2}{3}$x+1
=$\frac{4}{9}$（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{3}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{3}{4}$時(shí)，AD有最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故總造價(jià)有最小值3$\sqrt{3}$萬(wàn)元，此時(shí)y=$\frac{3}{2}$，
即當(dāng)寬長(zhǎng)廊AB為$\frac{3}{4}$百米（75米）、窄長(zhǎng)廊AC為$\frac{3}{2}$百米（150米）時(shí)，
水上通道AD有最低總造價(jià)為3$\sqrt{3}$萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中的余弦定理的運(yùn)用，以及二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．