Question

6．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC棱AD上運(yùn)動(dòng)，PQ=2，M為線(xiàn)段PQ中點(diǎn)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比等于$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$．

Answer 1

分析 由已知中三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我們易計(jì)算出三棱錐A-BCD的體積，又由點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC棱AD上運(yùn)動(dòng)，PQ=2，M為線(xiàn)段PQ中點(diǎn)，我們可以判斷M的軌跡與三棱錐轉(zhuǎn)成的兩個(gè)幾何體的體積，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，
則棱錐A-BCD的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$
又∵點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC棱AD上運(yùn)動(dòng)，PQ=2，M為線(xiàn)段PQ中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上
則點(diǎn)M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比為：
$\frac{1}{12}•\frac{4}{3}π$：（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{12}•\frac{4}{3}π$）=$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$，
故答案為$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積及球的體積，其中判斷出M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上是解答本題的關(guān)鍵．