Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，記g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]，若y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[2，+∞）
• B、（0，1）∪（1，2）
• C、[

  1

  2

  ，1）
• D、（0，

  1

  2

  ]

Answer 1

考點：反函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，KD f（x）=log_ax（x＞0）．
g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=log_ax（log_ax+log_a2-1）=(logax+

loga2-1

2

)2-

(loga2-1)2

4

，對a分類討論，利用二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴f（x）=log_ax（x＞0）．
g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=log_ax（log_ax+log_a2-1）
=(logax+

loga2-1

2

)2-

(loga2-1)2

4

，
①當(dāng)a＞1時，y=log_ax在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，∴l(xiāng)og_ax∈[loga

1

2

，loga2]．
由于y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，∴

1-loga2

2

≤loga

1

2

，化為log_a2≤-1，解得a≤

1

2

，應(yīng)舍去．
②當(dāng)0＜a＜1時，y=log_ax在區(qū)間[

1

2

，2]上是減函數(shù)，∴l(xiāng)og_ax∈[loga2，loga

1

2

]．
由于y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，∴

1-loga2

2

≥loga

1

2

，解得0＜a≤

1

2

．
綜上可得：0＜a≤

1

2

．
故選：D．

點評：本題可憐蟲反函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．