Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C₁：x=-5，圓${C_2}：{（x-2）^2}+{（y-1）^2}=1$，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線C₃的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{4}（ρ∈R）$，C₂與C₃的交點為M，N，求△C₂MN的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，分別代入C₁，C₂，即可求得C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）方法一：直線C₃的極坐標(biāo)方程，代入C₂，即可求得ρ₁，ρ₂，則丨MN丨=$\sqrt{2}$，由于C₂的半徑為1，即可求得△C₂MN的面積；
方法二：求得直線C₃的直角坐標(biāo)系方程，代入圓的方程，求得丨MN丨，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△C₂MN的面積．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，則C₁的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-2，
C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0；…5分
（2）方法一：將$θ=\frac{π}{4}（ρ∈R）$，代入ρ²-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0，得ρ²-3$\sqrt{2}$ρ+4=0，解得：ρ₁=2$\sqrt{2}$，ρ₂=$\sqrt{2}$，
故ρ₁-ρ₂=$\sqrt{2}$，即丨MN丨=$\sqrt{2}$，由于C₂的半徑為1，則C₂M⊥C₂N，
△C₂MN的面積為S=$\frac{1}{2}$•丨C₂M丨•丨C₂N丨=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$．
∴△C₂MN的面積為$\frac{1}{2}$．

方法二：直線C₃的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），可得直線方程為：y=x．
圓心C₂（2，1）到直線的距離d=$\frac{丨2-1丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-e4ucls9^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴△C₂MN的面積S=$\frac{1}{2}$•d•丨MN丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴△C₂MN的面積為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查圓的參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．