Question

11．如圖所示，AB是圓O的直徑，延長BA至C，使AC=$\frac{1}{3}$BC，過C作圓O的切割線交圓O于M、N兩點，且AM=MN．
（1）證明：∠AOM=∠ABN；
（2）若MN=2，求AN的長．

Answer 1

分析 （1）連接AN，說明AN⊥BN，BN∥OM，然后證明∠AOM=∠ABN．
（2）根據(jù)切割線定理得，CM×CN=CA×CB=3OA²，求出BN，在Rt△ABN中，求解AN即可．

解答 解：（1）連接AN，∵AB是圓O的直徑，∴AN⊥BN，
∵AM=MN，∴OM⊥AN，∴BN∥OM，
∴∠AOM=∠ABN．
（2）∵$AC=\frac{1}{3}BC$，∴AC=AO，
∵OM∥BN，∴$\frac{CM}{MN}=\frac{CO}{BO}=2$，∴MN=2，∴CM=4，∴CN=6，
根據(jù)切割線定理得，CM×CN=CA×CB=3OA²，∴$OA=2\sqrt{2}$，又$\frac{OM}{BN}=\frac{2}{3}$，
∴$BN=3\sqrt{2}$，
在Rt△ABN中，AN²=AB²-BN²=32-18=14，
∴$AN=\sqrt{14}$．

點評 本題考查與圓有關(guān)的線段成比例問題，切割線定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．