【題目】如圖,已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為,記,和的面積分別為和.
(1)當(dāng)直線與軸重合時,若,求的值;
(2)當(dāng)變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得?并說明理由.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)設(shè)出兩個橢圓的方程,當(dāng)直線與軸重合時,求出和的面積分和,直接由面積比列式求的值.
(2)假設(shè)存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得,設(shè)出直線方程,由點到直線的距離公式求出和到直線的距離,利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想把兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長度比,由弦長公式得到線段長度比的另一表達(dá)式,兩式相等得到,換元后利用非零的值存在討論的取值范圍.
由題意可設(shè)橢圓和的方程分別為
,,
其中,
(1)如圖,若直線與軸重合,即直線的方程為
,
所以
在和的方程中分別令,
可得 于是
若則 化簡得
由解得
故直線與軸重合時,若,則
(2)如圖
在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得,
根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線 ,
點,,到直線的距離分別為,
則,,
所以,
又
,
所以即
由對稱性可知
所以
于是①
將直線的方程分別與和的方程聯(lián)立,
可求得
根據(jù)對稱性可知
于是
,②
從而由①和②可得
,③
令,則由,
可得于是由③可得
因為 所以
于是③關(guān)于有解,當(dāng)且僅當(dāng)
等價于
由解得
即,由解得
所以當(dāng)時,不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線使得
當(dāng)時,存在與坐標(biāo)軸不重合的直線使得
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生對《中華人民共和國交通安全法》的了解情況,調(diào)查部門在該校進(jìn)行了一次問卷調(diào)查(共12道題),從該校學(xué)生中隨機抽取40人,統(tǒng)計了每人答對的題數(shù),將統(tǒng)計結(jié)果分成,,,,,六組,得到如下頻率分布直方圖.
(1)若答對一題得10分,未答對不得分,估計這40人的成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)若從答對題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生中隨機抽取2人,求恰有1人答對題數(shù)在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定一個數(shù)列,在這個數(shù)列里,任取項,并且不改變它們在數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為數(shù)列的一個階子數(shù)列.
已知數(shù)列的通項公式為(為常數(shù)),等差數(shù)列是
數(shù)列的一個3階子數(shù)列.
(1)求的值;
(2)等差數(shù)列是的一個 階子數(shù)列,且
(為常數(shù),,求證:;
(3)等比數(shù)列是的一個 階子數(shù)列,
求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點的直線與該橢圓交于兩點,滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公元2019年,石室2160歲!文翁興學(xué)2160周年紀(jì)念活動于2019年11月9日在石室中學(xué)文廟校區(qū)運動場隆重召開,會場是由一個長,寬的長方形及兩個以長方形寬為直徑的半圓相接組成,整個會場關(guān)于中軸線對稱,圖形如下.
(1)若、兩位同學(xué)分別在左右兩個半圓弧上值勤,則、兩位同學(xué)在圓弧什么位置時相距最遠(yuǎn),距離為多少?并說明原因.
(2)在(1)問的情況下,若要在主會臺后的會場邊界上關(guān)于中軸線對稱的兩點、處分別放置兩個音響,為了達(dá)到最好聽覺效果,兩個音響的距離要足夠大,同時、兩位同學(xué)聽到兩個音響傳來的聲音時間差不超過0.18秒,求音響距中軸線距離約為多少時為最佳放置點.(注:不超過0.18秒以秒計算,聲音在空氣中的傳播速度為).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,,,,,為的中點,為棱上的一點.
(1)證明:面面;
(2)當(dāng)為中點時,求二面角余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:①有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù);②存在正整數(shù),使得為的約數(shù);③有的三角形三個內(nèi)角成等差數(shù)列;④與給定的圓只有一個公共點的直線是圓的切線.其中既是存在性命題又是真命題的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z=a2-a-6+i,分別求出滿足下列條件的實數(shù)a的值:
(1)z是實數(shù);
(2)z是虛數(shù);
(3)z是0.
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