Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₈=29．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n的表達式；
（2）記數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n項和為T_n，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式求出首項與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n的表達式．
（2）此利用裂項求和法能求出T_n的值

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₈=29，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=9}\\{{a}_{1}+7d=29}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4=2n²-n．
（2）由（1）得$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{n}{4n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．