【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上滿足恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.
【答案】(1) 單調(diào)遞減.(2)1
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù)得,再研究,得在區(qū)間上恒小于零,可得在區(qū)間上恒小于零,即得函數(shù)單調(diào)性(2)由不等式恒成立得,再利用洛必達(dá)法則求,即得 ,可得實(shí)數(shù)a的最小值.
試題解析:解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
令, ,顯然當(dāng)時(shí),
,即函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)遞減,且,
從而函數(shù)在區(qū)間上恒小于零
所以在區(qū)間上恒小于零,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由于,不等式恒成立,即恒成立
令, ,且
當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,即函數(shù)單調(diào)遞減,
所以,即恒成立
當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上存在唯一解,
當(dāng)時(shí), ,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,且,
從而在區(qū)間上大于零,這與恒成立相矛盾 當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,即函數(shù)單調(diào)遞增,且,
得恒成立,這與恒成立相矛盾
故實(shí)數(shù)a的最小值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班,調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù),所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]時(shí),所作的頻率分布直方圖是( )
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【題目】以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合:對于函數(shù),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間[-M,M]。例如,當(dāng), 時(shí), ,現(xiàn)有如下命題:
①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,則“”的充要條件是“”;
②若函數(shù),則有最大值和最小值;
③若函數(shù), 的定義域相同,且, ,則
④若函數(shù),則有最大值且,
其中的真命題有_____________。(寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, ).
(1)如果曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求, 的值;
(2)若, ,關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且只有一個(gè),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲,乙,丙,丁四名同學(xué)做傳遞手帕游戲(每位同學(xué)傳遞到另一位同學(xué)記傳遞1次),手帕從甲手中開始傳遞,經(jīng)過5次傳遞后手帕回到甲手中,則共有__________種不同的傳遞方法.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)若曲線存在斜率為-1的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)求的單調(diào)區(qū)間;
(III)設(shè)函數(shù),求證:當(dāng)時(shí), 在上存在極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為減少汽車尾氣排放,提高空氣質(zhì)量,各地紛紛推出汽車尾號限行措施.為做好此項(xiàng)工作,某市交警支隊(duì)對市區(qū)各交通樞紐進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),表中列出了某交通路口單位時(shí)間內(nèi)通過的1000輛汽車的車牌尾號記錄:
由于某些數(shù)據(jù)缺失,表中以英文字母作標(biāo)識.請根據(jù)圖表提供的信息計(jì)算:
(Ⅰ)若采用分層抽樣的方法從這1000輛汽車中抽出20輛,了解駕駛員對尾號限行的建議,應(yīng)分別從一、二、三、四組中各抽取多少輛?
(Ⅱ)以頻率代替概率,在此路口隨機(jī)抽取4輛汽車,獎勵汽車用品.用表示車尾號在第二組的汽車數(shù)目,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】2015 年 12 月,華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”,此輪污染為 2015 年以來最嚴(yán)重的污染過程,為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到華中某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:
時(shí)間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
車流量(萬輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的濃度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散點(diǎn)圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(提示數(shù)據(jù): )
(2)利用(1)所求的回歸方程,預(yù)測該市車流量為 12 萬輛時(shí)的濃度.
參考公式:回歸直線的方程是,
其中.
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