Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}-1}{n+1}$（n∈N₊）．
（1）計算a₂，a₃，a₄，并猜測出{a_n}的通項公式；
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中你的猜測．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{n{a}_{n}+1}{n+1}$，分別令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄的值，根據(jù)前四項的值，總結(jié)規(guī)律能猜想出a_n的表達式．
（2）當n=1時，驗證猜相成立；再假設(shè)n=k時，猜想成立，由此推導出當n=k+1時猜想成立，由此利用數(shù)學歸納法能證明猜想成立．

解答 解：（1）a₁=2，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}-1}{n+1}$，
當n=1時，a₂=$\frac{{a}_{1}-1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
當n=2時，a₃=$\frac{2{a}_{2}-1}{2+1}$=0，
當n=4時，a₄=$\frac{3{a}_{3}-1}{3+1}$=-$\frac{1}{4}$，
∴猜想a_n=$\frac{3-n}{n}$，（n∈N₊）．
（2）①當n=1時，a₁=$\frac{3-1}{1}$=2，等式成立，
②假設(shè)n=k時，猜想成立，即a_k=$\frac{3-k}{k}$，
那么當n=k+1時，a_k+1=$\frac{k{a}_{k}-1}{k+1}$=$\frac{3-k-1}{k+1}$=$\frac{3-（k+1）}{k+1}$，等式成立，
由①②可知，a_n=$\frac{3-n}{n}$，（n∈N₊）．

點評 本題考查數(shù)列的前四項的求法和通項公式的猜想及證明，是中檔題，解題時要注意遞推思想和數(shù)學歸納法的合理運用．