Question

4．已知橢圓x²+2y²=1，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn)l₁和l₂分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到平行四邊形ABCD的面積為S．
（1）設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線(xiàn)l₁的距離，并證明S=|x₁y₂-x₂y₁|．
（2）設(shè)l₁與l₂的斜率之積為$-\frac{1}{2}$，求面積S的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，直線(xiàn)l₁的方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式可求得點(diǎn)C到直線(xiàn)l₁的距離d=$\frac{丨{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}丨}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}}$，再利用|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，可證得S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；當(dāng)l₁與l₂時(shí)的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立；
（2）方法一：設(shè)直線(xiàn)l₁的斜率為k，則直線(xiàn)l₂的斜率為-$\frac{1}{2k}$，可得直線(xiàn)l₁與l₂的方程，聯(lián)立方程組，可求得x₁、x₂、y₁、y₂，繼而可求得答案．
方法二：設(shè)直線(xiàn)l₁、l₂的斜率分別為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，利用A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在橢圓x²+2y²=1上，求得|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可求得面積S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）依題意，直線(xiàn)l₁的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，
由點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式得：點(diǎn)C到直線(xiàn)l₁的距離d=$\frac{丨\frac{{y}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}丨}{\sqrt{1+（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}）^{2}}}$=$\frac{丨{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}丨}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}}$，
由|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，
∴S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；
當(dāng)l₁與l₂時(shí)的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立；
（2）方法一：設(shè)直線(xiàn)l₁的斜率為k，則直線(xiàn)l₂的斜率為-$\frac{1}{2k}$，
設(shè)直線(xiàn)l₁的方程為y=kx，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y解得x=±$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，設(shè)x₁=$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，則y₁=$\frac{k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
同理可得x₂=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
∴S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．
方法二：設(shè)直線(xiàn)l₁、l₂的斜率分別為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂=-2y₁y₂，
∴x₁²x₂²=4y₁²y₂²=-2x₁x₂y₁y₂，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在橢圓x²+2y²=1上，
∴（x₁²+2y₁²）（x₂²+2y₂²）=x₁²x₂²+4y₁²y₂²+2（x₁²y₂²+x₂²y₁²）=1
即-4x₁x₂y₁y₂+2（x₁²y₂²+x₂²y₁²）=1，
∴（x₁y₂-x₂y₁）²=$\frac{1}{2}$，即|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用，考查方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．