12.四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,∠PCD=90°,二面角P-CD-B為60°,BC=1,AB=PC=2.
(1)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)求點C到平面PAD的距離.

分析 (1)推導(dǎo)出AB⊥CB,PC⊥CD,CD⊥PB,從而∠PCB=60°,進(jìn)而PB=$\sqrt{3}$,推導(dǎo)出PB⊥BC,AB⊥CB,由此能證明平面PAB⊥平面ABCD.
(2)以B為原點,BC為x軸,BA為y軸,BP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出點C到平面PAD的距離.

解答 證明:(1)∵四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,
∴BC⊥CD,AB∥CD,AB⊥CB,
∵∠PCD=90°,∴PC⊥CD,
∵PC∩CB=C,∴CD⊥平面PBC,
∵PB?平面PBC,∴CD⊥PB,
∴∠PCB是二面角P-CD-B的平面角,
∵二面角P-CD-B為60°,BC=1,AB=PC=2.
∴∠PCB=60°,∴PB=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$,
∴PB2+BC2=PC2,∴PB⊥BC,
又AB⊥CB,PB∩AB=B,∴BC⊥面PAB,
∵BC?平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.
解:(2)以B為原點,BC為x軸,BA為y軸,BP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
C(1,0,0),P(0,0,$\sqrt{3}$),A(0,2,0),D(1,2,0),
$\overrightarrow{PC}$=(1,0,-$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{PA}$=(0,2,-$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{PD}$=(1,2,-$\sqrt{3}$),
設(shè)平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,取z=2,得$\overrightarrow{n}$=(0,$\sqrt{3}$,2),
∴點C到平面PAD的距離:
d=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

點評 本題考查面面垂直的證明,考查點到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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