Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-a•sin（x-1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率是-1，求a的值；
（Ⅱ）如果f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切線的斜率求出f′（1）=-1，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到g（x）＜g（1）=1，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），[（1分）]
導函數(shù)為$f'（x）=\frac{1}{x}-a•cos（x-1）$．[（2分）]
因為曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率是-1，
所以f'（1）=-1，即1-a=-1，[（3分）]
所以a=2．[（4分）]
（Ⅱ）因為f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，
所以對任意x∈（0，1），都有$f'（x）=\frac{1}{x}-a•cos（x-1）≥0$．[（6分）]
因為x∈（0，1）時，cos（x-1）＞0，
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-a•cos（x-1）≥0?a≤\frac{1}{x•cos（x-1）}$．[（8分）]
令g（x）=x•cos（x-1），所以g'（x）=cos（x-1）-x•sin（x-1）．[（10分）]
因為x∈（0，1）時，sin（x-1）＜0，
所以x∈（0，1）時，g'（x）＞0，g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
所以g（x）＜g（1）=1．[（12分）]
所以a≤1．
即a的取值范圍是（-∞，1]．[（13分）]

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．