Question

7．某小區(qū)停車場的收費標準為：每車每次停車時間不超過2小時免費，超過2小時的部分每小時收費1元（不足1小時的部分按1小時計算）．現(xiàn)有甲乙兩人獨立來停車場停車（各停車一次），且兩人停車時間均不超過5小時．設(shè)甲、乙兩人停車時間（小時）與取車概率如表所示．

	（0，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]
甲	$\frac{1}{2}$	x	x	x
乙	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	y	0

（1）求甲、乙兩人所付車費相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所付停車費之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）首先求出x、y，個人停車所付費用相同即停車時間相同：都不超過兩小時、都在兩小時以上且不超過三小時和都超過三小時且不超過四小時三類求解即可．
（2）隨機變量ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5，由獨立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答 解：（1）由題意得$\frac{1}{2}+3x=1∴x=\frac{1}{6}$．
$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+y=1∴y=\frac{1}{2}$．
記甲乙兩人所付車費相同的事件為A，P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{2}{9}$，
甲、乙兩人所付車費相同的概率為$\frac{2}{9}$．
（2）設(shè)甲、乙兩人所付停車費之和為隨機變量ξ，ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5．
P（ξ=0）=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{7}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
 P（ξ=4）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{5}{36}$，P（ξ=5）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{12}$

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{7}{36}$+2×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{6}+4×\frac{5}{36}+5×\frac{1}{12}=\frac{7}{3}$

點評 本題考查獨立事件、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題．